Integral Alma Yöntemleri -

[Admin]

İNTEGRAL Türevi belli olan bir fonksiyonu bulmak için yaptığımız işleme integral alma veya ilkel fonksiyonu denir İNTEGRAL ALMA YÖNTEMLERİ
İntegrali alınacak fonksiyonun, hangi fonksiyonun türevi olduğunu görmek, her zaman pek mümkün olmaz. Bunun için, bazı integral alma yöntemleri oluşturulmuştur.
1. DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME YÖNTEMİ
f, g, fog ve g’ fonksiyonları, bir [a, b] aralığında sürekli fonksiyonlar olsun ſ f(g(x)).g’(x) dx biçimindeki integralleri hesaplamak için, u = g(x) dönüşümü yapılır ve her iki tarafın diferansiyeli alınırsa, du = g’(x) dx elde edilir. Bu durumda integral, ſf(g)).g’(x) = ſ f(u) du biçimine dönüşür. ſ f(u) du ifadesinin, u değişkenine göre integrali alındıktan sonra, u yerine g(x) yazılarak, sonuç x değişkenine göre bulunmuş olur. * ſ [f(x)]ⁿ . f’8x) dx ifadesinde olduğu gibi, kuvveti alınan fonksiyonun türevini aldığımızda, yanındaki çarpanı elde edebiliyorsak, bu ifadenin integralini kısaca; ſ[f(x)]ⁿ . f’(x) dx = {[f(x)]ⁿ´¹ / n+1} + C (n = -1) biçiminde alabiliriz.
LOGARİTMİK VE ÜSTEL İNTEGRAL ALMA KURALLARI:
1. ſ {f´(x) / f (x) = ln |f (x)| + C
2. ſ eª . f´(x) dx = eª + C ( a = f(x))
3. ſ eª . f´(x) dx = {eª / ln e} + C (a = f(x))
Bu eşitliklerin, sağ tarafındaki ifadelerin türevlari alındığında, integrali alınacak ifade elde edilir.
BAZI TRİGONOMETRİK İFADELERİN İNTEGRALLERİ
1. ſ sin(f(x)) . f´(x) dx = -cos f(x) + C
2. ſ cos (f(x)) . f’(x) dx = sin f(x) + C
3. ſ{f’(x) / cos²f(x)} dx = tan f(x) + C
4. ſ{f’(x) / sin²f(x)} dx = -cot f(x) + C
5. ſsin(ax + b) dx = (-1 / a) cos(ax + b) + C (a = 0)
6. ſcos(ax + b) dx = (1 / a) sin(ax + b) + C (a = 0)
7. ſ{dx / cos²(ax + b) dx = (1 / a) tan (ax + b) + C (a = 0)
8. ſ{dx / sin²(ax + b) dx = (-1 / a) cot
BELİRLİ İNTEGRAL
Tanım:Bir [a.b] kapalı aralığının a=X X ... X X =b özelliğini sağlayan her P={ X , X ,... X ,X } Sonlu alt cümlesine bu aralığın bir parçalanmışı denir ve her i=1.2...n için K =[ X ,X ] aralıklarına P parçalanmasının kapalı kısmı alt aralıkları ve X bu noktaların da parçalanışın ayırma noktaları adı verilir. f.[a.b] kapalı aralığında tanımlı sınırlı reel değerli bir fonksiyon olsun.[a.b] aralığı.P parçalanmasındaki K alt aralıklarının uzunluğunun X = X X ile gösterelim.f nin K deki en küçük üst sınırı (sup’u) ve en büyük alt sınırı (inti) sırası ile M ve m olsun yani SUP X K f(x)=M X=K f f(x)= m Olsun.şimdi şu toplamları oluşturalım: 1)- A(P.f)= m X 2)- Ü(P.f)= M X [a.b] aralığının bütün mümkün olan P parçalanışların Q cümlesini gözönüne alalım.Her P=Q için (1) ve(2) toplamları birer reel sayı belirtir.P Q’ yi taradığında A(P.f) ve Ü(P.f) toplamları birer reel sayı cümlesi meydana getirirler.Bu sayı cümlelerinin sırasıyla supu ve infi varsa. SUP A(P.f)= f(x)dx inf Ü(P.f)= f(x)dx ile gösterilir.Bu sayılar sırasıyla f fonksiyonunun [a.b] aralığındaki alt ve üst Riemanın integrali adı verilir. f(x)dx= f(x)dx ise f fonksiyonu [a.b] aralığı üzerinde Riemann anlamında intergrallenebilirdir denir. f(x dx= fcx dx= fcx dx sayısına f fonksiyonun a dan b ye kadar integrali adı verilir. Tanım:K =[ X ,X ] alt aralıklarından uzunluğu en büyük olanına P nin normu denir ve (P) ile gösterilir. 1 i n için t,t[x....x] olmak üzere. S(P.f)= f(t ) x İfadesine f fonksiyonunun P parçalanmasına karşılık gelen Riemann toplamı denir. m x=A(P.f) S(P.f) Ü(P.f)= M X olduğundan f fonksiyonunun Riemann integralinin varolması için gerek ve yeter koşul lim (M-m) =0 dır.o zaman supA(P.f)=infÜ(P.f) olacağından Riemann anlamından ıntergal mevcuttur.Buna göre şu tanımı verebiliriz. Tanım:Her t t[X ,X ] için, f (t ) x sayısına f in riemann integrali denir ve f (x)dx ile gösterilir. Buna göre f (x)dx = f (t ) x dir. Şimdi belirsiz integral ile belirli integral daha açıkçası anti – türev ile belirli integral arasındaki ilişkiyi belirten ve integral hesabını esas teoremi olarak adlandırılan aşağıdaki teoremi veriyoruz. Teorem: bir f fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı riemann anlamında integrallenebilir olsun. Eğer f in bir anti – türevi F ise yani, F (x) = f(x) özelliğini sağlıyorsa bu taktirde, f (x)dx = F(b) – F(a) dır. İspat: [a, b] aralığının herhangi bir parçalanışı P olsun. Ortalama değer teoreminden dolayı F(x ) – F(x ) = F (t ) (x -x ) olacak şekilde bir t (x , x ) sayısı vardır. Hipotez gereğince (x) = f(x) olduğundan, F(x ) – F(x ) = f(t ) (x -x ) dir. Burada i =1 den n ye kadar toplam alınırsa = elde ederiz. = F(b) – F(a) olduğundan F(b) = F(a) - olur. f fonksiyonu riemann anlamında integrallenebilir olduğundan F(b) – F(a) = = bulunur. Böylece ispat tamamlanmış olur. bu teorem ile belirli integralin belirsiz integral yardımı ile nasıl hesaplandığını görmüş olduk. Şimdi bunu örneklerle daha iyi görmeye çalışalım. Örnek 1: dir. Çünkü x nin bir anti-türevi dir. Örnek 2: dir. Belirli integralin özellikleri: 1) integrali x değişkeninden bağımsızdır. Gerçekten: = dir. 2) = dir. Yani integralde a ve b sınırlarının yerleri değiştirilirse integral işareti değişir.