Belirli İntegral

[Admin]

BELİRLİ İNTEGRAL


Tanım:Bir [a.b] kapalı aralığının a=X<X<...<X<X=b özelliğini sağlayan her

P={ X, X,... X,X}

Sonlu alt cümlesine bu aralığın bir parçalanmışı denir ve her i=1.2...n için



K=[ X,X] aralıklarına P parçalanmasının kapalı kısmı alt aralıkları ve X bu noktaların da parçalanışın ayırma noktaları adı verilir.



f.[a.b] kapalı aralığında tanımlı sınırlı reel değerli bir fonksiyon olsun.[a.b] aralığı.P parçalanmasındaki Kalt aralıklarının uzunluğunun

X= X X

ile gösterelim.f nin Kdeki en küçük üst sınırı (supâ€u) ve en büyük alt sınırı (inti) sırası ile M

ve m olsun yani

SUP XKf(x)=M X=Kf f(x)= m

Olsun.şimdi şu toplamları oluşturalım:

1)- A(P.f)=mX

2)- Ü(P.f)=MX

[a.b] aralığının bütün mümkün olan P parçalanışların Q cümlesini gözönüne alalım.Her P=Q için (1) ve(2) toplamları birer reel sayı belirtir.P Q†yi taradığında A(P.f) ve Ü(P.f) toplamları birer reel sayı cümlesi meydana getirirler.Bu sayı cümlelerinin sırasıyla supu ve infi varsa.

SUPA(P.f)=f(x)dx

infÜ(P.f)=f(x)dx

ile gösterilir.Bu sayılar sırasıyla f fonksiyonunun [a.b] aralığındaki alt ve üst Riemanın integrali adı verilir.

f(x)dx= f(x)dx

ise f fonksiyonu [a.b] aralığı üzerinde Riemann anlamında intergrallenebilirdir denir.

f(xdx=fcxdx= fcxdx

sayısına f fonksiyonun a dan b ye kadar integrali adı verilir.

Tanım:K=[ X,X] alt aralıklarından uzunluğu en büyük olanına P nin normu denir ve (P) ile gösterilir.

1in için t,t[x....x] olmak üzere.

S(P.f)=f(t)x

İfadesine f fonksiyonunun P parçalanmasına karşılık gelen Riemann toplamı denir.

mx=A(P.f)S(P.f)Ü(P.f)= MX



olduğundan f fonksiyonunun Riemann integralinin varolması için gerek ve yeter koşul

lim(M-m)=0

dır.o zaman supA(P.f)=infÜ(P.f) olacağından Riemann anlamından ıntergal mevcuttur.Buna göre şu tanımı verebiliriz.

Tanım:Her tt[X,X] için,





f (t) x sayısına f in riemann integrali denir ve f (x)dx ile gösterilir. Buna göre

f (x)dx = f (t) x dir.

Şimdi belirsiz integral ile belirli integral daha açıkçası anti – türev ile belirli integral arasındaki ilişkiyi belirten ve integral hesabını esas teoremi olarak adlandırılan aşağıdaki teoremi veriyoruz.

Teorem: bir f fonksiyonu [a,b] aralığında tanımlı riemann anlamında integrallenebilir olsun. Eğer f in bir anti – türevi F ise yani, F

(x) = f(x) özelliğini sağlıyorsa bu taktirde,

f (x)dx = F(b) – F(a) dır.

İspat: [a, b] aralığının herhangi bir parçalanışı P olsun. Ortalama değer teoreminden dolayı

F(x) – F(x) = F(t) (x-x) olacak şekilde bir t (x, x) sayısı vardır. Hipotez gereğince (x) = f(x) olduğundan,

F(x) – F(x) = f(t) (x-x) dir. Burada i =1 den n ye kadar toplam alınırsa

=elde ederiz. = F(b) – F(a)

olduğundan F(b) = F(a) - olur. f fonksiyonu riemann anlamında integrallenebilir olduğundan F(b) – F(a) = = bulunur. Böylece ispat tamamlanmış olur.

bu teorem ile belirli integralin belirsiz integral yardımı ile nasıl hesaplandığını görmüş olduk. Şimdi bunu örneklerle daha iyi görmeye çalışalım.

Örnek 1: dir. Çünkü xnin bir anti-türevi dir.

Örnek 2: dir.



Belirli integralin özellikleri:

1) integrali x değişkeninden bağımsızdır. Gerçekten:

= dir.

2) = dir. Yani integralde a ve b sınırlarının yerleri değiştirilirse integral işareti değişir. Gerçekten:

= F(b) – F(a) = -[F(a) – F(b)]=-

3) herhangi bir e sayısı için e(a,b) için,

=+ dir. Gerçekten:

= F(b) – F(a) =[F(a) – F(b)] + [F(b) - F(e)]= +

4) =0 dır. Çünkü = F(a) – F(a)=0 dır.

Teorem: f[a,b] kapalı aralığında sürekli bir fonksiyon olsun ve =a, =b olmak üzere x = ve fonksiyonları [u , u] kapalı aralığında sürekli ve fonksiyonu bu aralıkta monoton olsun bu taktirde ; = dir.

İspat: eşitliğin sol tarafındaki f(x) in belirsiz integrali bilindiğini ve f(x) – C ye eşit olduğunu kabul edelim; bu taktirde,

= F(b) – F(a) olur.

= F[ olduğundan ve a=, b= olduğundan olur ki bu da teoremin ispatını tamamlar.

Belirli integrali hesaplarken, değişken değiştirilmesi yapıldığından integral sınırlarını yeni değişkene göre yazmak yerine ilk değişkene dönülüp ilk değişkendeki sınırlar konulup integral hesaplanabilir. Bu aynı sonucu verir. Ancak daha fazla işlem yapmayı gerektirecektir.

Belirli integralde x=(u) değişken değiştirilmesi ile değilde bazen u= değişken değiştirilmesi ile yeni değişken eski değişken cinsinden ifade edilerek hesap yapılır. Bu durumda u ve u yeni integral sınırları

u= ve u = eşitliklerinden hemen bulunur.

u= fonksiyonu monoton olmadığı zaman bazı zorluklar ortaya çıkabilir. Bu durumda in ters fonksiyonu yoktur. Bu durumda a ve b ye karşılık = durumu ortaya çıkabilir. Örneğin u=cosx değişken değiştirmesi [-] aralığında uygulandığı zaman böyle bir durum ortaya çıkar. Gerçekten u=cosu() =0 ve u=cost()=0 dır. O halde u = değişken değiştirilmesinin yapılabilmesi için ,[a,b] aralığında monoton olmakla beraber, bu aralıkta türevlenebilmeli ve türevi aralığı içinde hiçbir iç noktada 0 olmamalıdır. Bununla beraber fonksiyonunun [a,b] aralında belirli integrali [a,b] aralığını ın monoton ve türevinin işaretinin aynı kaldığı alt aralıklara bölerek hesaplayabiliriz. (şüphesiz böyle alt aralıklar bulunabiliyorsa)

belirli integrali hesaplarken , değişken değiştirmesi yapıldığında , integral sınırlarını yeni değişkene göre yazmak yerine ilk değişkene dönülüp , ilk değişkendeki sınırlar konulup integral hesaplanabilir. Bu aynı sonuç verir. Ancak daha fazla işlem yapmayı gerektirecektir. Belirli integralde x = ( u ) değişken değiştirmesi ile değilde bazen u = değişken değiştirmesi ile yeni değişken eski değişken cinsinden ifade edilerek hesap yapılır.Bu durumda u ve u yeni integral sınırları u = ve u= eşitliklerinden hemen bulunur.

u = fonksiyonu monoton olmadığı zaman bazı zorluklar ortaya çıkabilir, bu durumda in ters fonksiyonu yoktur. Bu durumda a ve b ye karşılık = durumu ortaya çıkabilir. Örneğin u=cosx değişken değiştirmesi [-] aralığında uygulandığı zaman böyle bir durum ortaya çıkar. Gerçekten u=cost ()=0 ve u=cost()=0 dır. O halde u= değişken değiştirmesinin yapılabilmesi için , [a,b] aralığında monoton olmakla beraber, bu aralıkta türevlenebilmeli ve bu türevi aralığın içinde hiçbir iç noktada 0 olmamalıdır. Bununla beraber fonksiyonunun [a,b] aralığındaki belirli integrali [a,b] aralığını ın monoton ve türevinin işaretinin aynı kaldığı alt aralıklara bölerek hesaplayabiliriz.